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de 6; d'où ressortait une liaison bien remarquable entre le 

 postulatum d'Euclide sur les parallèles et le postulatum 

 d'Archiraède sur l'équilibre du levier. Je reconnaissais en 

 même temps que les relations analytiques, pour la composi- 

 tion des forces concourantes en un point, subsistent iden- 

 tiquement dans la géométrie imaginaire, tandis que celles 

 de la composition des forces parallèles sont remplacées 

 par d'autres formules. 



Dans la suite de mon Mémoire, j'ai passé en revue 

 plusieurs démonstrations du postulatum d'Euclide tirées, 

 soit des principes de la mécanique, soit de simples notions 

 géométriques, et, entre autres, celle de Minarelli, dont 

 une simplification, publiée dans les Nouvelles Annales de 

 Mathématiques, en 1849, a été récemment reproduite par 

 M. Carton et recommandée par M. Bertrand f) , celle de 

 M. De Tilly, insérée dans un ouvrage de 1860, celles de 

 M. BouNiAKOwsKi et de M. Lamarle. J'ai aussi rendu jus- 

 tice aux découvertes de M. Beltrami, en indiquant com- 

 bien la théorie des surfaces pseudosphériques était utile 

 pour trouver le vice caché de certaines démonstrations 

 spécieuses du fameux postulatum. Mais je n'ai pas osé en 

 conclure l'impossibilité d'une démonstration rationnelle et 

 rigoureuse; et, même à présent, j'hésite à retenir comme 

 complètement prouvée cette impossibilité par les raison- 

 nements de MM. Hoiiel et De Tilly. C'est sur ce sujet que 

 je vous demande , Monsieur, la permission d'exposer quel- 

 ques réflexions. 



Je ferai observer d'abord que l'existence de la pseudo- 

 sphère, telle qu'on doit l'employer pour conclure à l'impos- 

 sibilité de démontrer le postulatum d'Euclide, n'a pas 

 encore été établie : la pseudosphère dont on a besoin est une 

 surface à courbure constante négative (je ne dis pas cour- 



