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 bure moyenne, car ce nom est donné par les géomètres à la 

 somme ou demi-somme des courbures principales, et il est 

 question ici de leur produit) , qui s'étend à l'infini dans tous 

 les sens , et simplement connexe. On connaît bien quelques 

 surfaces à courbure constante négative, mais elles ne pos- 

 sèdent pas les autres caractères : ainsi la surface de révolu- 

 tion engendrée par la tractoire ou courbe à tangentes égales 

 n'est pas infinie dans tous les sens, n'est pas simplement 

 connexe. On a dit que cette surface de révolution pouvait 

 être regardée comme le type des surfaces pseudosphériques : 

 c'est comme si l'on disait que la surface d'un cylindre 

 droit est le type des surfaces planes. M. De Tilly, en choi- 

 sissant cette même surface de révolution pour y appuyer 

 ses raisonnements , a prétendu démontrer que les lignes 

 géodésiques de cette surface jouissent de la propriété d'être 

 pleinement déterminées par deux de leurs points, comme 

 les lignes droites. C'est une erreur : M. Bellavitis , par 

 des considérations intuitives, et tout récemment M. Bel- 

 TRAMi,par le calcul, ont prouvé que deux géodésiques d'une 

 telle surface peuvent se rencontrer en plusieurs points. 

 Il arrive comme pour l'hélice, qui rencontre en une infinité 

 de points chaque génératrice du cylindre, quoique, sur le 

 plan, deux droites ne puissent se rencontrer qu'en un 

 point unique (**). Ainsi la démonstration de M. De Tilly 

 pèche par sa' base. 



On a parlé aussi du développement de la surface de révo- 

 lution que j'ai indiquée; mais il est probable qu'on n'aura 

 une idée nette de ce développement que quand on aura 

 précisé comment on parviendra à l'exprimer par le calcul. 

 En connaissant le plan, on conçoit très-bien comment 

 on peut l'enrouler sur un cylindre ; mais il serait moins 

 facile, si l'on ne connaissait que les surfaces cylindriques, 



