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 d'en déduire les surfaces planes. Remarquons, au surplus, 

 que la ligne droite, élément du plan, existe sans altéra- 

 tion sur les surfaces cylindriques, tandis que les géodé- 

 siques de la pseudosphère n'existent pas probablement sur 

 la surface de révolution susdite, ce qui doit augmenter la 

 difficulté d'expliquer le mode de développement propre à 

 passer de Tune de ces surfaces à l'autre. Tl n'est pas moins 

 évident que, pour établir la possibilité de construire une 

 surface pseudosphérique infinie dans toutes les directions, 

 il ne suffirait pas de dire qu'on peut assembler différentes 

 parties de la surface de révolution en les raccordant les 

 unes avec les autres : en effet, on ne pourrait pas, à l'aide 

 d'un tel assemblage, transformer en un plan la surface 

 d'un cylindre. 



11 est vrai que la détermination d'une surface à courbure 

 constante dépend d'une équation aux dérivées partielles, 

 savoir : 



rt — s^ = a{\ -+- jp -t- q^) , 



dont l'intégrale admettra des fonctions arbitraires, permet- 

 tant de satisfaire à plusieurs conditions, mais on ne peut 

 affirmer a priori que la vraie pseudosphère soit comprise 

 dans cette intégrale; car la condition de réalité de la sur- 

 face et les autres conditions ci-dessus exprimées peuvent 

 restreindre beaucoup le nombre des solutions et même les 

 réduire à une seule. C'est ainsi que la détermination des 

 surfaces dont les rayons des deux courbures principales 

 soient égaux et de même signe, pour chacun de leurs 

 points, dépend pareillement d'une équation aux dérivées 

 partielles, c'est-à-dire : 



[(1 -f- p'')t — ^pqs -t- (1 H- q^)rj — ^{rt — s^) (1 -t- p' -+- 7') = ; 



