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 et néanmoins, si Ton ajoute la condition de la réalité, on 

 n'a qu'une seule solution, la sphère, pour laquelle les 

 rayons de courbure ne sont pas seulement égaux, mais 

 constants et tous les centres de courbure coïncident. Les 

 solutions imaginaires seraient en nombre infini et renfer- 

 meraient des fonctions arbitraires f **). Il est donc possible, 

 pour ne pas dire probable, que l'intégrale de l'équation 

 aux dérivées partielles, exprimant les surfaces à courbure 

 constante, n'offre qu'une seule surface réelle, infinie dans 

 tous les sens et simplement connexe, c'est-à-dire le plan, 

 le plan euclidien, dont la courbure est partout nulle. 



Mais en supposant que l'existence de la pseudosphère 

 avec toutes ses propriétés soit mise hors de doute , et qu'on 

 possède par conséquent une surface courbe réelle superpo- 

 sable à elle-même, comme le plan, dans toutes ses parties, 

 et dont les géodésiques ne puissent se rencontrer qu'en 

 un point, comme les lignes droites, on pourra toujours 

 objecter que la comparaison n'est pas complète, attendu 

 que le plan est la seule surface pour laquelle la superposi- 

 tion soit possible sans retournement et sans déformation. 

 Il restera donc toujours cette différence essentielle; et par 

 suite il paraît impossible d'exclure a priori qu'on puisse 

 profiter d'une telle propriété caractéristique du plan pour 

 démontrer, à l'égard du plan, des théorèmes qui ne sont pas 

 démontrables (parce qu'ils ne sont pas vrais) pour la pseu- 

 dosphère. Répondra-t-on que pour profiter de la propriété 

 indiquée il faudrait sortir du plan , et qu'ainsi l'impossibi- 

 lité de démontrer le postulatum d'Euclide par une con- 

 struction plane n'est pas infirmée par cette objection? 

 Mais alors il faudrait rejeter de la géométrie plane toute 

 démonstration fondée sur la superposition ; et d'ailleurs 

 peu importe, si l'on admet que la démonstration ration- 



