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 cité et de pénétration, la théorie des fonctions d'une va- 

 riable imaginaire, théorie encore nouvelle, il arrive à ces 

 deux équations, bien remarquables: 



^M=-^l — — -»-ô / (--cotx)— ^c/x, (12) 







/" /i \ cos 2^x , "=» si 



r* sin 2wjxjr 



La seconde conduit Fauteur à des résultats étonnants, 

 presque paradoxaux, parmi lesquels je citerai seulement 

 celui-ci : l'intégrale 



/ 



cos 2/ax — COS ^ax 

 col xdx 



a des valeurs très-différentes, selon que les paramètres f^, 

 a sont entiers ou fractionnaires. Cette discontinuité, dont 

 on ne connaissait que peu d'exemples, me paraît suscep- 

 tible d'applications importantes. 



VJI. 



M. Gilbert reprend la formule (12), en l'écrivant ainsi : 



i, *^ /^"/^ \sin2^x^ 



cy(fjt) = 1.2sin|xr-»-- / I cotxl dx . (to) 



(*) Celle notation signifie que le sinus est pris en valeur absolue 



1. :2 sin iJ.7r=. - 1. (4 sin' M^). 

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