V. 



Reprenant la formule : 





et opérant, comme il le dit « de simples intégrations par 

 » parties, » M. Gilbert retrouve la série de Slirling, avec 

 deux nouvelles expressions du reste. Je ne suis pas bien 

 sûr que ces limites soient préférables à celles que Ton con- 

 naissait déjà. 



Pour terminer ce paragraphe, l'auteur conclut, de l'équa- 

 tion ci-dessus, le curieux développement de ^(Ai) en série 

 périodique, dû à M. Kummer. Il déduit ensuite, de cette 

 série, diverses intégrales délînies remarquables. Je citerai 

 seulement celle-ci : 



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/ I.r(^)cos2A:p7r= — 



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Dans ce paragraphe, qui constitue la partie la plus 

 abstraite de son travail, M. Gilbert considère encore l'inté- 

 grale 



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mais il suppose z imaginaire, et il étend l'intégration à un 

 certain contour fermé. Appliquant, avec beaucoup de saga- 



