(7) 

 subir diverses transformations à cette formule (7) , et il en 

 conclut : 



""^^^ ~ 5 A (2a^ -*- 2^ h- If "*" 5 A (2a^ h- 2Â; + i)* 



Lorsque /" = ^ , cette nouvelle relation donne la « for- 

 j> mule curieuse ; 



1.2.3 1.2.3.4.5 1....7 ^ ^ 



» qui associe, dans une même équation, les nombres ber- 

 » noulliens, le nombre t et le logarithme népérien de 2. » 

 L'intégration par parties, appliquée à l'équation (8), con- 

 duit M. Gilbert à d'autres développements de la fonction 

 c7(a^); par exemple celui-ci : 



'''^""3.2^A(p + ^)(/"-^-^+l) 3.5.2' A (f.-+-Af(^H-/c-^l)^ 



1.2 ^00 1 



'*"5.5.7.2* A (f,-^-kf{ii-^k-^if 



IV. 



Au moyen d'une identité due à Stirling, et dont MM. Ge- 

 nocchi et De Tilly avaient déjà fait d'heureux usages, 

 M. Gilbert retrouve la série de Binet, avec l'expression du 

 reste. Les géomètres que je viens de citer avaient déjà résolu 

 cette question du reste; mais seulement pour des valeurs 



I 



(*) Voir la Noie III. 



(**) L'auteur appelle B,, 83, Bg, ... ce que je désigne ici par B,, — B„ 



-Bj , . . . . On sait qu'il y a plusieurs définitions des nombres de Bernoulli. 



