.(6) 

 on trouve aisément : 



F(x) = 2x^5 "-— ^ .... (3) 



Par suite, 







Après avoir rappelé cette formule , due à Cauchy, M. Gil- 

 bert en conclut d'abord : 



\^^\ /^*sin2/iT£ , 1 /^" ilz vi»sin2wTZ 







puis, observant que 



^=* sin 7iu 7c — Il 



pour toute valeur de u comprise entre et Stt, notre 

 confrère décompose l'intégrale en une infinité de parties, 

 convenablement choisies, et il trouve cette nouvelle for- 

 mule : 



• x\ dx 



^' ' . . . (8) 



-^k-¥-X 



Comme le dit avec raison l'auteur : « la dernière trans- 

 » formation présente ceci de remarquable, que la fonc- 



D tionn(fx), se trouve, dans l'équation (8), repré- 



)> sentée par une série d'intégrales définies à différentielles 

 » rationnelles. » 



Après avoir retrouvé, au moyen de l'équation (7), la 

 série de Gudermann et la série de Binet, M. Gilbert fait 



