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 nelle du postulatum d'Euclide, soit sur le plan, soit dans 

 l'espace, n'est pas reconnue impossible. 



Il résulte de tout cela , si je ne me trompe, que les rai- 

 sonnements fondés sur l'existence et les propriétés de la 

 pseudosphère ne sont pas assez concluants. 



M. De Tilly, en rendant compte d'un ouvrage de M. Flye 

 Sainte-Marie, a voulu remplacer la pseudosphère par une 

 surface courbe appelée pseudoplan, dont l'équation, en 

 coordonnées cartésiennes rectangulaires et dans la géomé- 

 trie euclidienne, serait : 



cc^ -h î/^ -t- Ax -+- B^ -+- C = — k'^e'f; 



mais cette surface n'est pas infinie dans tous les sens : 

 elle est de révolution autour d'un axe parallèle à celui des 

 z, et présente ainsi des points formant une ligne de stric- 

 tion et se distinguant par cela de tous les autres points de 

 la surface, tandis que, dans le plan, rien ne distingue un 

 point de tous les autres. De même la pseudodroite, qui est 

 l'intersection du pseudoplan avec un plan perpendiculaire 

 à celui des xy, ayant deux branches infinies dont les 

 asymptotes sont parallèles à l'axe des r, présentera comme 

 un point distingué de tous les autres celui d'où partent ces 

 deux branches : dans la vraie droite, au contraire, tous les 

 points jouissent des mêmes propriétés. Comment donc 

 écarter la possibilité de démontrer, pour la droite et pour 

 le plan, des propositions qu'on ne pourra pas démontrer 

 pour la pseudodroite et le pseudoplan? La forme et les 

 propriétés de ces lieux géométriques sont trop différentes 

 de celles de la vraie droite et du vrai plan, pour qu'il soit 

 permis de conclure des unes aux autres. 



Je doutais donc et je doute encore qu'on ne puisse abso- 

 lument démontrer le postulatum d'Euclide, quoique, bien 



