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NOTES. 



C) Voir les Comptes-rendus de décembre 1869 et de janvier 1870. 



D'après un renseignement que je dois à M. le prince Boncompagni , la 

 démonstration de Minarelii a paru pour la première fois à Bologne, en 1826 

 (chez Annesio iNobili et Gomp.), sous forme d'appendice à un traité élé- 

 mentaire de mathématiques, compilé par Brunacci. Cette démonstration a 

 été annoncée dans le Bulletin de M. Férussac en 1827 (t. Vil, p. 162, 

 n" 135); on la jugeait rigoureuse, maison ajoutait: « Nous renvoyons 

 l'auteur à la critique plus minutieuse des amateurs des parallèles. « Mina- 

 relii construisait, sur une ligne droite indéfinie, une suite de quadrilatères 

 égaux : en y substituant des triangles, je réussis à simplifier et à abréger 

 considérablement la démonstration, et j'adressai cette simplification, 

 en 1849, à M. Terquem, qui l'inséra dans ses Annales ; dans le numéro de 

 janvier 1850, le même journal portait une objection de M. Lionnet et 

 d'autres savants 11 paraît que Minarelii ne connut pas cette objection, ou ne 

 s'en inquiéta guère, puisqu'il fit imprimer de nouveau sa démonstration 

 sans changement, à Bologne, en 1851, à la suile du même traité de Bru- 

 nacci. La rédaction que j'avais adoptée est la même, au fond, qu'a donnée 

 M. Bertrand. M. Baltzer l'a rendue encore plus simple, dans un article des 

 Bulletins de la Société royale de Leipzig, reproduit dans le journal de 

 M. BoFchardt, t. LXXIII, p, 372 (1871). En poursuivant dans cette voie de 

 simplifications successives, on parvienclra finalement à une démonstration 

 trouvée par le célèbre Ivory et publiée, dès 1822, dans le Philosophical 

 Magazine de Londres (t. LIX, p. 161), par conséquent plusieurs années 

 avant celle de Minarelii. Mais la démonstration d'Ivory a été réfutée en 

 peu de mots par Legendre , dans une note de la douzième édition de sa 

 Géométrie ( Paris, 1827, pp. 223-224), d'où l'on voit qu'il n'est pas besoin 

 de recourir aux prétendues subtilités de la géométrie imaginaire pour se 

 mettre en garde contre de tels raisonnements. 



Je dois avertir que la ressemblance de la démonstration de Minarelii 

 avec celle plus ancienne d'Ivory m'a été signalée par M. Lebesgue. 

 Dans le Bulletin de Férussac, on a aussi annoncé le Cours d'arithmétique 

 et les Éléments d'arithmétique de Minarelii {Bull., t. IV, pp. 13'2 et 537, 

 n" 117 et 291). Cet estimable et modeste savant est décédé à Bologne, il 

 y a quelques années. 



(**) M. Beltrami a démontré cette propriété très-remarquable des sur- 

 faces à courbure constante, que leurs lignes géodésiques, rapportées à un 

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