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certain système de coordonnées curvilignes, sont données par des équations 

 linéaires. Mais il ne s'ensuit pas immédiatement que deux géodésiques ne 

 puissent se rencontrer qu'en un point, parce que les relations entre les 

 coordonnées curvilignes et les rectilignes ne détermineront pas toujours, 

 pour chaque combinaison de valeurs des unes, une combinaison unique de 

 valeurs des autres. 



En particulier, s'il s'agit de la surface engendrée par la courbe à tan- 

 gentes égales, l'équation différentielle des géodésiques en coordonnées 

 rectilignes sera, comme pour toute surface de révolution: 



xdy — ydx = a Vdx^-i-dy^ -+- dz^, 



a étant une constante; et, en remplaçant les coordonnées rectilignes xeiy 

 par les coordonnées polaires r et f, c'est-à-dire en posant a! = rcos ?, 

 y = r sin f , on aura : 



r^df = a VrMf -\- dr^-t- dz^ ; 

 d'ailleurs l'équation différentielle de la courbe méridienne sera 



1/ rf2« , 

 K ! + -—=&, 

 dx^ 



et deviendra celle de la surface si l'on change x en Vx^-\-y^, c'est-à-dire 

 en r, ce qui donne : 



1/ dz' , 



En éliminant d3,on trouve : 



ah dr 



et , en intégrant : 



a 

 Pour une autre géodésique, on aura : 





a' r 



et, si un même point doit être commun à ces deux géodésiques, il faudra 



