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actuelle ('). Nous sommes partis de points différents, sans 

 nous emprunter aucune idée l'un à l'autre , et si quelques 

 résultats se rencontrent à la fois dans mon travail et dans 

 celui de l'éminent géomètre italien , je considère cette cir- 

 constance comme très-honorable pour moi. 



L'analyse que l'auteur donne de son travail de Géomé- 

 trie et de Mécanique abstraites se termine par ces mots : 



« J'ai aussi rendu justice aux travaux de M. Beltrami, 



Mais je n'ai pas osé en conclure l'impossibilité 



d'une démonstration rationnelle et rigoureuse (du postu- 

 latum d'Euclide); et, même à présent, j'hésite à retenir 

 comme complètement prouvée cette impossibilité par les 

 raisonnements de MM. Hoiiel et De Tilly. C'est sur ce sujet 

 que je vous demande, Monsieur, la permission d'exposer 

 quelques réflexions. » 



Les réflexions que M. Genocchi expose ensuite com- 

 prennent deux parties distinctes se rapportant, la première, 

 à l'impossibilité de démontrer le postulatum d'Euclide par 

 une construction plane, ou des raisonnements uniquement 

 relatifs au plan; la seconde, à l'impossibilité de démon- 

 trer ce même postulatum par des constructions ou des 

 raisonnements géométriques quelconques. 



Je diviserai de même la suite de ce Rapport. 



L — Impossibilité de démontrer le postulatum d'Euclide 

 par la Géométrie plane. 



Les raisons que l'on a données de l'impossibilité de 

 démontrer le postulatum par la Géométrie plane sont 



(*) L'existence d'un travail de M. Genocchi , sur la Géométrie et la 

 Mécanique abslrailes, m'a élc indiquée par M. Hoùel, dans une lellro du 

 19 avril 1870. 



