( 127 ) 



basées sur la considération des pseudo-sphères, c'est-à- 

 dire des surfaces à courbure constante négative (*). 

 M. Beltrami a démontré le premier que la Géométrie 

 euclidienne de ces surfaces est la même que la Géométrie 

 non euclidienne du plan. 



M. Hoiiel en a conclu, avec raison, qu'il est désormais 

 impossible de démontrer le postulatum sans sortir du 

 plan, puisque, si l'on y parvenait, ce ne pourrait être, à 

 moins de cercle vicieux , que par l'emploi de propriétés 

 communes aux deux géométries euclidienne et non eucli- 

 dienne et que, dès lors, la démonstration pourrait être 

 répétée, mot pour mot, dans la géométrie euclidienne, sur 

 les surfaces à courbure constante négative, ou pseudo- 

 sphères, où elle conduirait, par conséquent, à une con- 

 clusion fausse, puisque la Géométrie de ces surfaces n'est 

 pas la même que celle du plan. 



Dans le tome XXX (2' série) des Bulletins de notre 

 Académie, j'ai ajouté aux travaux de MM. Beltrami et 

 Hoiiel un commentaire qui, d'après moi, simplifie la 

 question, parce que, au lieu d'appliquer les raisonnements 

 à une pseudo-sphère quelconque, je les rapporte à une 

 surface pseudo-sphérique de révolution, très-simple et bien 

 connue de tous les géomètres : celle qui est engendrée par 

 la tractoire ou la courbe aux tangentes égales, tournant 

 autour de son asymptote. 



Les critiques que M. Genocchi adresse à toutes les dé- 



(*) M. Genocchi fait observer, dans sa lettre, qu'il convient de dire 

 courbure constante et non courbure moyenne constante, comme je 

 l'avais écrit dans ma Note insérée aux Bulletins de r Académie, t. XXX, 

 S*" série. J'ai déjà reconnu cette erreur de dénomination, dans un article 

 du Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques , t. II, p. 294. 



