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 monstrations basées sur les pseudo-sphères sont plus par- 

 ticulièrement dirigées contre la méthode simple et pré- 

 cise que j'ai indiquée; mais elles proviennent uniquement 

 de ce que l'auteur impose aux pseudo-sphères, pour la 

 réussite d'une démonstration semblable à celle de M.Hoiïel 

 ou à la mienne, deux conditions dont la première est, 

 d'après moi, inutile, et dont la seconde ne doit pas être 

 entendue dans le sens absolu que l'auteur y attache. Il exige 

 que ces pseudo-sphères s'étendent à l'infini dans tous les 

 sens et, de plus, qu'elles soient simplement connexes f). 



11 est nécessaire, pour l'intelligence de ce qui suit, de 

 résumer ici, en quelques mots, la démonstration critiquée. 



Ayant construit un corps de révolution, ou un noyau, 

 terminé extérieurement par la surface de révolution définie 

 plus haut, j'imagine qu'une surface flexible soit enroulée 

 indéfiniment sur ce noyau, de manière que toutes ses 

 nappes se superposent, tout en restant distinctes, comme 

 si l'on enroulait une feuille de papier plane et indéfinie 

 sur un cylindre , mais avec cette diff'érence que la feuille 

 de papier enroulée sur le cylindre a été d'abord plane, 

 tandis que la surface pseudo-sphérique est fabriquée 

 directement sur son noyau. 



La surface de révolution considérée étant à courbure 

 constante, une partie quelconque de la surface enroulée 

 peut glisser sur cette dernière surface par flexion , mais 

 sans extension, contraction, déchirure ni duplicature. 



De plus, il ne peut exister, entre deux points quel- 



C) Voir, au sujetde ceUe expression encore peu usitée, la iroisiènie 

 parlie de la Théorie élémentaire des quantités complexes , par M. Hoiiel 

 (Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de roR- 



DEAUX, t. VIII). 



