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 conques de cette même surface, qu'une seule ligne géo- 

 désique, ou un seul plus court chemin, ce que l'on voit en 

 amenant ces deux points sur une même ligne géodésique 

 méridienne, par le glissement d'une portion de surface 

 qui les contient. 



Cela suffit pour prouver que toute démonstration du 

 postulatum sur le plan réussirait aussi sur la pseudo- 

 sphère de révolution; or, là le principe des parallèles ne 

 peut pas exister, puisqu'on voit clairement que toutes les 

 lignes géodésiques méridiennes sont asymptotes entre 

 elles. 



Voyons maintenant ce que mon savant contradicteur 

 oppose à ce qui précède. 



a M. De Tilly, en choisissant cette même surface de 

 révolution pour y appuyer ses raisonnements, a prétendu 

 démontrer que les lignes géodésiques de cette surface 

 jouissent de la propriété d'être pleinement déterminées 

 par deux de leurs points, comme les lignes droites. C'est 

 une erreur : M. Bellavilis, par des considérations intui- 

 tives, et tout récemment M. Beltrami, par le calcul, ont 

 prouvé que deux géodésiques d'une telle surface peuvent 

 se rencontrer en plusieurs points. » 



Cette assertion m'ayant frappé, je songeais à examiner 

 les travaux récents auxquels M. Genocchi fait allusion, 

 lorsque je lus la phrase suivante, dans laquelle l'auteur, 

 en précisant sa pensée, dévoile Ja cause de son erreur : 



« 11 arrive comme pour l'hélice, qui rencontre en une 

 inhnité de points chaque génératrice du cylindre, quoique, 

 sur le plan, deux droites ne puissent se rencontrer qu'en 

 un point unique. » 



On voit que mon savant contradicteur a uniquement en 

 vue, tant pour la pseudo-sphère que pour le cylindre, la 



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