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Si quelques géomètres doutent de l'exactitude de ce 

 raisonnement, c'est parce qu'ils admettent, sans y prendre 

 garde, que dans une construction ou dans une démon- 

 stration géométrique, on puisse avoir besoin d'invoquer 

 y infini absolu, tandis qu'en mathématiques, l'infini n'est 

 qu'une limite ou une manière de parler. A mesure que 

 l'un des géomètres (celui qui croirait démontrer le postu- 

 latum) aurait besoin de faire croître les dimensions de la 

 figure plane, l'autre (son contradicteur) ferait, en même 

 temps, glisser toute la figure pseudo-sphérique correspon- 

 dante vers le sommet asymptotique à l'infini (un point 

 directeur, pris dans la figure, décrivant une méridienne), 

 d'une quantité suffisante pour que, à chaque instant, la 

 dimension maximum variable de la figure soit moindre 

 que la distance, correspondante au même instant, entre 

 le point directeur et le parallèle maximum. De même que 

 la dimension maximum de la figure n'atteindra jamais l'in- 

 fini absolu, le point directeur ni aucun point de la figure 

 n'atteindront jamais le sommet asymptotique (ce qui serait 

 encore l'infini absolu); la construction sera donc toujours 

 possible et l'on ne rencontrera jamais le prétendu obstacle 

 de la ligne de rebroussement ou du parallèle maximum. 



En résumé, ma théorie ne suppose point que l'on puisse 

 obtenir une surface à courbure constante négative, infinie 

 dans tous les sens, ni simplement connexe sans enroule- 

 ment ou superposition de nappes; elle suppose seulement 

 qu'une partie quelconque de la surface bien définie que 

 j'ai employée jouisse de la propriété de glisser sur la sur- 

 face, moyennant une flexion de ses éléments, mais sans 

 aucune extension ni contraction. Si cette propriété, qui 

 jusqu'aujourd'hui n'a été constestée par personne, à ma 

 connaissance, venait à l'être d'une manière sérieuse, alors, 



