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 mais alors seulement, ma démonstration rappelée ci-des- 

 sus, et qui est complète par elle-même, serait sujette à la 

 \nême contestation. 



Aujourd'hui la seule objection que je reconnaisse comme 

 possible a été faite par moi-même, dans le Mémoire cité 

 (p. 35), en ces termes : 



« On pourrait dire que le plan jouit d'une autre propriété 

 fondamentale, que ne possède pas la pseudo-sphère: le re- 

 tournement. On répondra que le retournement n'est jamais 

 nécessaire dans la Géométrie plane; on l'emploie quelque- 

 fois pour démontrer rapidement l'égalité de deux ligures, 

 mais cette égalité peut toujours se démontrer autrement. » 



Si cette réponse ne paraissait pas péremptoire, j'en 

 emprunterais une autre à M. Genocchi lui-même. 



« Répondra-t-on , » dit ce géomètre, au sujet de l'objec- 

 tion précitée , « que, pour profiter de la propriété indi- 

 quée, il faudrait sortir du plan, et qu'ainsi l'impossibilité 

 de démontrer le postulatum d'Euclide par une construction 

 plane n'est pas infirmée par cette objection? » 



Oui, je répondrais cela, au besoin, c'est-à-dire si la 

 réponse précédente ne suffisait pas, et après avoir ainsi 

 répondu, après avoir dit qu'alors la démonstration du pos- 

 tulatum dépendrait de la Géométrie dans l'espace, j'ajoute- 

 rais que de cette manière elle serait encore impossible, en 

 vertu de la seconde partie , que je vais aborder. 



II. — Impossibilité de démontrer le postulatum d'Euclide 

 par un raisonnement géométrique quelconque. 



En rendant compte, dans le Bulletin des sciences ma- 

 thématiques et astronomiques, d'un ouvrage de M. Flye 

 Sainte-Marie et en me servant, avec une autre interpré- 



