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 talion, des calculs de ce géomètre, j'ai prouvé, à peu près 

 comme suit, l'impossibilité de démontrer le postulatum par 

 un raisonnement géométrique quelconque. 



Plaçons-nous dans la géométrie ordinaire, et rapportons 

 tous les points de l'espace à un système de trois axes rec- 

 tangulaires Ox, Oy, Oz. La distance de deux points infini- 

 ment voisins 



(x, 3/, z), (x -^ dx, y -^ dyy z -^ dz) 

 étant alors 



ds = Vdx^ -f- dy' -f- dz\ 



j'appelle pseudo-distance de ces deux mêmes points la 

 quantité 



d<7 = V{dx^ -4- dif) e^ -^ dz\ 



k étant un paramètre arbitraire. 



De même que la longueur d'une ligne, entre deux 

 points, est l'intégrale de ds entre des limites déterminées 

 par les coordonnées de ces points et par les équations de 

 la ligne, la pseudo-longueur de cette même ligne sera 

 l'intégrale de da- entre les mêmes limites. 



J'appelle encore pseudo-droites les lignes ayant pour 

 équations : 



y = 7wa; -+- ?i, 

 {m' -+- 1) (x - P) (x - Q) = - P e"'^; 



pseudo-plans les surfaces ayant pour équation : 

 (a) . . .x^ -\-if^ Ax-^By ~\-C = — fâ e"^. 



De ces définitions je déduis immédiatement, par l'ana- 

 lyse, les conséquences suivantes : 



