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 On pourra, dans la position A', chercher le point X'Y'Z', tel 

 que ces mêmes éléments (B'X'Y'Z' — C), (B'— A'XT'Z'), 

 (A' — X'Y'Z') soient respectivement égaux aux précé- 

 dents. Alors on effectuera le mouvement de manière que 

 tous les points, tels que XYZ, se transportent aux points 

 correspondants X'Y'Z'. 



Cherchant, dans la première position , la pseudo-dis- 

 tance a de deux points XYZ, X,YiZ„ et, dans la seconde, la 

 pseudo-distance a' des deux points correspondants X'Y'Z', 

 X;y;Z^, on trouvera a = a', ce qui prouve que le mouve- 

 ment peut se faire ainsi qu'on l'a annoncé. 



On se trouve maintenant en possession, pour les pseudo- 

 droites, ...., des mêmes principes que Ton admettait pour 

 les droites, ...., antérieurement au postulatum d'Euclide. 

 S'il existait donc une démonstration de ce postulatum (ou, 

 ce qui revient au môme, de la somme des angles d'un 

 triangle rectiligne), basée uniquement sur lesdils principes, 

 on pourrait la répéter pour un triangle pseudo-rectiligne 

 et l'on démontrerait que, dans un tel triangle, la somme des 

 trois pseudo-angles vaut deux angles droits, ce qui n'est 

 pas exact. 



M. Genocchi n'a présenté contre ces raisonnements que 

 deux objections, qui me paraissent bien faciles à lever. 

 Il fait remarquer, d'abord, que la pseudo-droite et le 

 pseudo-plan présentent certains points qui se distinguent 

 des autres, tandis que, dans la vraie droite et le vrai plan, 

 tous les points jouissent des mômes propriétés. Mais quel 

 usage le géomètre qui voudrait démontrer le postulatum 

 pourrait-il faire de cette identité des points d'un plan? 

 Serait-ce de répéter, en un point d'un plan, une construc- 

 tion qui aurait été faite en un autre? La môme répétition 

 peut avoir lieu pour le pseudo-plan, mais les deux figures 



