( 462 ) 



A cet effet, l'auteur adopte d'abord la définition, donnée 

 par Gauss et par M. Liouville, de la fonction F (x) lorsque x 

 est quelconque, savoir : 



(6) r(a:)=lim(,_) 



x(x -h \) ...(x -\- k — i) 



ce qui donne évidemment : 



r (x) = 1 . 2 . . . (x — 1 ) , lorsque x est entier, 



et il montre d'abord que 1 . F (x) est une des intégrales par- 

 ticulières de \.x. 

 En combinant la formule (6) avec cette autre : 



1 . r (x) = C -+- ix j 1 . X — X -+- pt (x) , 



dans laquelle p. (x) s'annule avec^» l'auteur prouve que 

 la valeur de G doit être la même pour x fractionnaire que 

 pour X entier. 



Sa démonstration est rigoureuse et remarquable. 



Dans ce deuxième Mémoire , l'auteur donne encore une 

 démonstration de la formule de Gudermann, considérée 

 comme une conséquence presque immédiate de l'équation 

 précédente et il en déduit deux autres expressions de ^ (x) 

 (données aussi par Binet) convenant, l'une aux valeurs 

 de X supérieures à l'unité, l'autre à toutes les valeurs 

 positives de x. 



M. Genocchi signale ensuite l'insuffisance de quelques 

 démonstrations contenues dans le Mémoire du célèbre 

 géomètre français que je viens de citer et donne, en finis- 

 sant, une manière simple d'établir l'identité de la fonc- 



