( m5 ) 



quantité positive pour / > 2, à cause de ^zi^ > j:^ , et qui 

 se réduit à zéro dans le cas de i = 2. On conclut que les 

 quantités ( — 1 )'■*■' (3^ sont décroissantes, et qu'ainsi : 



P3X3 - p^x, + p,\, <- p,X5 -h (33X, - p,x 



[misque donc ces deux séries ont tous leurs termes positifs, 

 et que la dernière est convergente, la première doit pareil- 

 lement être convergente. 



Dans le cas de x entier, M. De Tilly rempkce notre in- 

 tégrale 2R„+i par la série —ÎR„+i; je trouve dans mes 

 papiers qu'en m'appuyant sur la théorie des fonctions inex- 

 plicables enseignée par Euler, j'avais employé cette même 

 transformation pour toute valeur positive de x, et j'en avais 

 tiré une limite supérieure de la valeur numérique de cette 

 intégrale. On peut écrire : 



ai a 1 (I — x) 



R„ 1= / — «a 



/ X (t. -^ \) ...(x -*- 7l) \X -¥- ce X-+-1 OiJ 



X (x -+- 1 ) ... (x -4- 11) \X -f- a 







en se rappelant la signification de A„ et A),; et l'on a 

 X -4- a < X -h 1 — a, A„ > A;, : ainsi la quantité R„^_, est 

 positive. On a encore 



(x -+- a) (x -f- 4 -t- a) (x -+- 1 — a) (x -t- 2 — a) 



est positive : par conséquent, si Ton désigne par c la valeur 

 qu'on veut donner à x dans la formule, on fera successive- 



