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 nous remplacerons x successivement par x + 1, x + 2, ... 

 X -{- m — 1 et, faisant la somme, nous trouverons : 



¥ {x -\-m) — ¥ (x)=9(x) -+- cp (x -4- i ) h — -4- cp (x -+- m — 1), 



où le second membre aura une limite finie et déterminée, 

 pour m infini; donc le premier membre aura la même 

 limite; donc F (x + m) tendra vers une limite finie et dé- 

 terminée, qui restera la même lorsqu'on change xen x-+-l. 

 Ainsi une valeur de l'intégrale F (x) sera égale à la somme 

 de la série 



— cp (x) — cp (x -t- i ) — (p (x -4- 2) — etc. 



Si 9 (x) est nul pour toute valeur infinie de x, on pourra 

 dire la même chose de cette somme, et la valeur de F (x), 

 pour X infini, sera égale à celle de F (x-hm), pour m infini. 

 Alors donc la somme de la série ci-dessus sera une valeur 

 particulière de l'intégrale I9 (x), s'annulant pour x = oo. 



J'ajouterai ici une observation bien simple, qui toutefois 

 ne semble pas dépourvue d'importance. Lorsqu'on a obtenu, 

 en intégrant par 2, une intégrale particulière /"(x), et qu'on 

 détermine la quantité C de l'intégrale générale f{x) -+- C, 

 en faisant x = oo et en supposant C constante; si l'on 

 trouve pour C une quantité finie et déterminée, on pourra 

 conclure qu'on n'aurait pas une autre valeur de C en la 

 supposant variable (c'est-à-dire périodique). En effet, 

 quelle que soit la valeur que prend C pour x==c, cette 

 quantité C, étant périodique, prendra la même valeur pour 

 X = c -h i, c H- 2, c H- 5, ... c H- ??^, w étant un nombre 

 entier aussi grand qu'on voudra, et par suite elle prendra 

 la même valeur pour x infini. Ainsi on démontre que, 

 dans ce cas, l'arbitraire C se réduit à une simple constante. 



