( S57 ) 



qu'on attribue à Gauss, peut à bon droit être réclamée par 

 Euler comme sienne, puisque dans son Calcul différentiel, 

 en nommant S la fonction inexplicable 



114 



l^ 1 h-. -H — 5 



2 3 X 



et 2 ce que devient S lorsque x devient oc -t- w, il trouve f) : 



1 1 



I ^ 



w 



\(x-+-l 





f (X -h 2)' (x -4- 



1 1 



)' (x-h2f (x-hof 

 -+- etc. , 



ce qui donne immédiatement : 



c/S 1 1 1 



dx {x-\-\f (x-+-2f (Jc-hôf 



or, d'après le mode d'interpolation employé par Euler, 

 la fonction S n'est pas autre cbose que la dérivée de 

 2 log (x + 1) ou ^^"^y^]'"^^\ c'est-à-dire la fonction ^x de 

 Gauss, à une constante près; donc la série 



1 1 1 



(XH-I)*"^ (xH-2)^"^ (a:-+-5f "*"■"' 



qui, en vertu de la formule d'Euler, est la première dé- 

 rivée de S, sera égale à i^!i2S_L^£iLlI ou '^, et l'on a 

 ainsi le résultat même de Gauss. En effet , pour z entier, 



Gauss donne (**) : 



1 1 1 



WZ = 'iO-\- i H 1 h h — > 



2 5 £ 



(*) Inst. cale. di77".,pars post, cap. XVI, art. 371, exem. I (édilion de Pa- 

 vie, 1787, p. 613). 

 {"*) Gauss, Werke.l. III, p. 154. (GôUingen, 1866). 



