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 on peut conclure de là que la série de Gudermann est con- 

 vergente et que y- (p) se réduit à zéro, lorsque p = oo, ce 

 qui suffît pour déterminer aussi la constante C, à l'aide du 

 théorème de Wallis. Enfin, j'ai démontré l'identilé de la 

 fonction r(x), définie par Gauss, avec l'intégrale eulé- 

 rienne. 



En 1854, Cauchy généralisa les formules de Binet, et 

 trouva des développements analogues pour des fonctions 

 quelconques, et comme j'étais, de mon côté, parvenu aux 

 mêmes résultats et aussi à des résultats plus généraux, par 

 la méthode que j'avais appliquée à la série de Binet, et que 

 j'avais, au surplus, complété toutes ces séries par l'expres- 

 sion d'un reste, je publiai mes démonstrations dans les 

 Annales de M. Tortolini, cahiers de février et mars 



1855 0. 



Soit u une fonction de x, v=-^, i\ ce que devient v 

 lorsqu'on change x en x-hn : on a la formule symbolique: 



1 1 r i 1 n 



où le second membre doit être développé suivant les puis- 

 sances ascendantes de A, en interprétant ces puissances 

 comme des différences finies (du même ordre) de la fonc- 

 tion u„, pour Ax = \ : n désigne un nombre qui ne sera 

 pas nécessairement entier et positif. 



Si Ton fait t«==log x, cette formule donnera luie infinité 

 de développements équivalents aux deux séries de Binet : 

 ces dernières répondent aux valeurs n = et n = d. J'ai 

 observé que , si n n'est pas nul , la convergence est 



{*) Comptes rendus, t. XXXlX,pp. 134-135, 175-176, 2U-218. 

 Annali di scienze matem, e (îsicke, t. VI, pp. 70-114 (Rome, 1855). 



