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 d'aulant plus rapide que n est plus petit, et que, pour x>l, 

 la série qu'on obtient en posant ?î=0 est préférable à 

 toutes les autres, déduites de valeurs positives de n. 



Dans le même Mémoire, j'ai indiqué un procédé simple 

 pour parvenir à l'expression de u-{p) sous la forme d'une 

 intégrale définie et pour en tirer les développements de 

 log r(/)) en factorielles. Il renferme encore une démonstra- 

 tion nouvelle et, je crois, assez remarquable, dos analogies 

 connues des différences avec les puissances (dont je signale 

 la liaison avec les formules de Binct), et des théorèmes de 

 M. Malmsten sur la formule sommaloire de Maclaurin. 



Je suis revenu sur les formules de Binet et sur ces autres 

 formules plus générales, dans un article bibliographique 

 relatif aux beaux résultats obtenus par U. Schloemiich f). 

 J'ai démontré, en peu de mots, sa formule fondamentale : 



/ l-«) [a)da = H-- - 



r (0) /"-* (0) 



(z-\-i){z-^^) z{z-^i)...(z-^n—\ 



1 



^y^* (l __«)-'+"- Y" (a) f/a, 



z{z-^i)...(z-^?î — i)'o^ 



et je l'ai appliquée au développement de la fonction : 



''(^)=/dr-l^-'---^^^^^)('-^^' 



(\—x)V2 a log(l 



ce qui donne la série particulière de Binet, dont se sont 

 occupés MM. De Tilly et Gilbert, avec un reste exprimé, 

 non par une intégrale définie triple^ mais par une intégrale 



(*) Annali di Matematica, t. II, pp 367-384 (Rome, 1859). 



