( 568 ) 

 fait allusion ci-dessus, et qui a été exposée, en 1856, par 

 M. Weierstrass. Ce célèbre géomètre a démontré que la 

 fonction réciproque yi-^ ^'st toujours développable sui- 

 vant les puissances entières et ascendantes de p (*). 



J'indiquerai, en même temps, une thèse de M. Hankel, 

 sur les intégrales culériennes, dans le cas de variables ima- 

 ginaires ("), et plusieurs résultats très-intéressants publiés 

 par M. Catalan, dans le derjiier Compte rendu (*'*). 



En ce qui touche la série de Stirling, et celle de Mac- 

 laurin ou d'Euler, dont elle est un cas particulier, j'avais 

 tiré d'une formule sommatoire due à Plana, qui résume, 

 pour ainsi dire, la série d'Euler, l'expression remarquable 

 du terme complémentaire de la série de Stirling obtenue 

 par M. Schaar, et plus tard je suis entré dans beaucoup de 

 détails au sujet de la convergence de la série d'Euler, et 

 des conditions nécessaires à la validité delà formule som- 

 matoire de Plana, que j'avais appliquée à la théorie des 

 résidus quadratiques (****). 



Enfin j'ai énoncé, dans une Revue de Turin, le théo- 

 rème suivant : « Soit r le rapport de la circonférence au 

 diamètre, a un nombre positif, et nommons n, n h- 1 les 

 deux nombres entiers consécutifs entre lesquels sera com- 

 prise la valeur de tta -f- ^; si l'on veut calcjiler log F (a) à 

 l'aide de la série de Stirling, on obtiendra les plus grandes 



(*) Journal de Crelle, t. LI, pp. 1-60, el en particulier pp. 44-46. 

 (•*) Die Euler'schen intégrale, etc. Leipzig, 1865. 

 (***) Comptes rendus, t. LXXVII, pp. 198-201 (séance du 21 juill. 1873j. 

 (****) Annali di scienze maternai iche e fisiche, 1. 111, pp 406-136 (Rome, 

 1852); même Recueil, t. VI, pp. 91-94, 102-107 (Rome, 18oo). — La for- 

 mule de Plana que je viens de mentionner a été obtenue aussi par Abel 

 (OEuvres, t. 11) et par M. Schaar (Acad. roy. de Belgique, savants étrangers, 

 t XXll), mais Plana Ta trouvée le premier. 



