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larité essenlielle. En d'autres termes, les seules fonctions 

 invariantes sont celles des formes quelconques, à cela 

 près que certaines d'entre elles se réduisent à zéro. 



Dans la note actuelle, nous nous proposons de déter- 

 miner le nombre des fonctions invariantes de degrés 

 donnés, qui restent linéairement indépendantes pour la 

 particularité. Notie solution dépend uniquement de cer- 

 tains nombres de partition qui expriment combien il y a 

 de fonctions entières de degrés et de poids donnés; la 

 seule différence, par rapport aux formes quelconques, 

 consiste dans le fait (]ue pour déterminer les nombres de 

 partition, il faut tenir compte des équations ^-=0, 

 f/' = 0, etc., de la particularité. 



Comme application, nous établirons une correspondance 

 entre les fonctions invariantes de certains agrégats de 

 formes linéaires (§ 8). Pour l'un des cas les pins simples, 

 nous retrouverons le théorème que nous avons obtenu 

 antérieurement comme une extension de la loi de réci- 

 procité de M. Hermite. 



i. L'analyse que nous allons développer est basée sur 

 la réduction des fondions invariantes aux covarianls pri- 

 maires. Pour plus de clarté, nous rappellerons dès l'abord 

 les propriétés suivantes (') : 



I. Les covarianls primaires y sont les fonctions inva- 

 riantes aux séries de variables x\ , a;2, ... xll — 1, qui 

 satisfont aux équations de polaires 



d'y d'y d'v 



xl — ^ = 0, X2— ^-=0, ... xH - 2- — =0. 



dx"! (1x5 dxll — 1 



(') Pour les propriétés I, II, IV, voir le mémoire déjà cité pp. 72 

 et 98; 85; loi. 



