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Reprenons mainlenanl la relation (2); nous en dédui- 

 sons : 



{n, T, ... ^jw = 2 [n. n, ... n J'") . ç, (n . ^) 

 e(, par suile, 



(r, TT, ... 7r„)(j;) = [t, TT, ... rj") .... (6) 



Celte dernière formule suppose essentiellement que 

 l'on a Tz, > TTo ... > -„; si ces conditions ne sont pas salis- 

 iailes, on a [tti tz. - -^J"'' = (voir § 1). 



Les équations (4) et (6) sont tout à fait semblables; 

 la propriété qui a été établie au paragraphe 2 permet donc 

 d'énoncer ce théorème : 



Les nombres N'''^e^ N de fonctions invariantes distinctes 

 s'expriment respectivement au moyen des nombres de 

 partition (tt, t.., ... tiJ'"' et (tt, tto ... ttJ, de la même ma- 

 nière pour des formes à particularité essentielle et pour 

 des formes à coefficients indépendants. 



6. Supposons que les équations d'une particularité éta- 

 blissent seulement des relations entre les coefficients de 

 chacune des formes f f^ ... considérées isolément. Pour 

 distinguer ce cas spécial, nous emploierons les notations 

 ^1 <^2 — j 3u lieu de /", , fo... 



Soit 



le nombre de fonctions linéairement indépendantes, de 

 poids 7t/, tt/o ... T.j\ qui contiennent seulement, et an 

 degré hj, les coefficients de ^j . Suivant nos conventions, 



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