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menl (*), tout semi-invariant du premier degré pour ties 

 éléments al, o2 ... ai à permutation alternée, peut s'écrire 

 comme somme de produits de déterminants (=b h^ A-, ... /,). 

 de telle manière que pour chaque produit les éléments 

 «1, a2 .. (a" se trouvent réunis dans un déterminant 



(ifc ol,«2.2 .. . fu',) 

 ou 



(=b al, 02.2 ••• ««V'<.>i.S, + -2 •••)• 

 Conséquemment, nous écrirons : 



m' = (± al,fl2, ...rn",) <S^ ) 



-t- 2 (± «>.••• «*>.+i^.+-2.--)='^'', • * • ^^^ 



en indiquant par a, [i ... quelques-uns des éléments b, c ... 

 et |)ar <S^, <^' des sommes de produits de déterminants 

 (dr fr^kn ... I,) qui ne dépendent pas de «1, a2, ... ai. 



Les facteurs ^^ ^' sont des semi-invariants : le premier 

 peut être considéré comme une fonction alternée de 

 b\, b^...bi. Nous pouvons appliquer à <3^et à 61, 62 ... bi le 

 raisonnement qui a été indiqué ci -dessus relativement 

 à d/' et à rtl, a2 ... ai. Nous obtenons ainsi 



^= (± 61,622 ... 6/,)<S^, -+- 2 (±61,62-2 .- 6 <>',^., &;+.,... )^;, (5') 



<9^, et <^i étant des semi - invariants indépendants de 

 al, a2 ... ai 61, 62 ... bi. On aura encore une formule ana- 

 logue pour (f^,. 



Par des réductions semblables et par la combinaison 



(*) Sur la détermination des fonctions invariantes, p. "li. (Mémoires 

 des Savants clrangers, publics par l'Académie royale de Bclgic'ue, 

 t. LU, in-i".) 



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