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Sur les coniques osculatrices dans les courbes du troisième 

 ordre; par Cl. Servais, professeur à i'Universilé de 

 Gand. 



Le lieu des conjugués harmoniques d'nn point A d'une 

 cubique, |iar rapport aux points d'intersection de cette 

 courbe avec les sécantes issues du point A, est la conique 

 polaire (A) de ce point. La cubique se correspond donc à 

 elle-même, dans la transformalion biralionnellequadratique 

 de troisième espèce, ayant pour conique fondamentale la 

 conique polaire (A) et pour pôle le point A. Ainsi présentée, 

 la propriété de la conique polaire permet de retrouver et 

 de découvrir des propriétés relatives aux coniques oscu- 

 latrices dans les courbes du troisième ordre. 



i. La conique correspondant à la droite de l'infini du 

 plan, est une conique (A) homothétique à la conique (A), 

 le centre d'homothétie étant le point A et le rapport étant 

 égal à Va- Cette conique (A') rencontre la cubique en trois 

 points différenLs de A, et situés sur les parallèles menées 

 du point A aux asymptotes. Cette conique a donc au point 

 A, un contact du second ordre avec la cubique; ou bien 



Le rayon de courbure de la conique polaire au point A, 

 est double de celui de la courbe au point considéré. 



Conséquence. — Si l'on a une conique cp, ayant au point 

 A un contact du second ordre avec la cubique, elle ren- 

 contre cette courbe en trois points Bi- 83, B3, tels que les 

 droites ABj, ABo, AB3 rencontrent la cubique en trois 

 points B;, B;, B; situés en ligne droite. Cette droite 

 correspond à la conique o, dans la transformation bira- 

 tionnelle quadratique ayant pour conique fondamentale 



