{ Ui ) 



Appelons cp el 9' les angles que font avec ^' les droites 

 OA, OA', Cela posé, de même que du théorème de Liou- 

 ville nous avons déduit la formule (I), de même de la 

 relation ci -dessus nous déduirons la suivante : 



^ (sin w. sinV .OA .r' — sin w'.sin^-^'. OA' . r) = 0. 



^ AA 



Supposons que le point soit situé à l'intersection des 

 axes A el A'. Appelons Q, Q',... les projections sur A' des 

 points A, A', ... Eu égard à ces notations, la formule 

 précédente devient 



(XIV) 2 (APÂQ'.r' - \-p'.J7Q\r)^^ = 0. 



12. Déplaçons maintenant les axes parallèlement à eux- 

 mêmes, l'axe A d'une quantité h el l'axe A' d'une quantité 

 //'. La foruiule (XIV), appliquée à ces nouveaux axes, 

 donne 



2 [(AP + h){\Q -4- h'fr'—{X'P' + /0(A'Q' -h li'fr] J^. = 0, 



AA'"* 



ou, en effecluanl les calculs indiqués, 



1 I 



2(AP.ÂQ'.r'— A'P'.^Q'^r)^- + 2/t' ^ (AP.AQ.r^- A'P'.A'Q'.r) 



A A' "" AA' 



- //"' y (AP.r— A'P'.r) ——+hy (ÂQ'.r'— .V(V".r) 



1 1 



■2A/«' 2 (AQ.r'— A'Q'.r) . -^Iih" ^ ('•'-'•) .-=0. 



A A'" A A'" 



Cette égalité devant avoir lieu quels que soient h et //, 

 il faul que les différents termes du premier membre 



