( U^l ) 



s'annulent séparément. On obtient, en appliquant celle 

 remarque, plusieurs formules connues et la suivante : 



(XV) 5(ÂP.AQ.r'— A'P'.A'Q'.r) : = 0. 



AA'' 



15. Celte égalité peut s'écrire 



> (sin a. sin ? . r — sm w .sm »'.r) : = 0. 



AA 



Transformant par polaires réciproques au moyen des 

 relations (5), nous obtiendrons la formule 



2 /sin a. sin <^. OH sin a', sin 't''.OH')\ 1 

 -] -v-^. = 0. 

 \ R' K /sm'< 



14. Si Oest rejeté à l'infini dans une direction arbitaire 

 A" et qu'on appelle ^F et W les angles que font avec A" 

 les tangentes au point I, la formule (XVI) donnera 



sin n sin * sin M sin fi' sin <!■' sir) 'r'\ \ 



^ ^ -^ \ R' R / sin-'/ 



Celle formule aurait pu être également déduite du 

 théorème de Liouvillp, joint à la formule (V). 



15. 11 est permis de remplacer par des cosinus les sinus 

 compris dans la parenthèse de la formule (XVII). Il suffit, 

 à cet effet, de faire tourner les axes de^. Écrivons donc 



^ Ycos Q cos '^ cos m' cos £l' cos <1'' cos m '\ I 



^ \ R' R I s^i^"" 



et transformons cette formule par polaires réciproques. 



En a|)pelant 4^ et ^' les angles que font avec A " les 

 droites 0.\ et OA', nous aurons 



^ (siiiw.sirjv.sin/'.OA^./-' — sinw'.sin,p'.sini/'.0 v'.r) : = 0. 



^ ' AA'' 



