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Mais alors, on a, car les groupes sonl évidemment per- 



miilabies, 



(EF, AR. K,F,) = 0, 



(EF, AB, EiF,) = 0, 

 d'où 



(EF, E.F,, E,F,) = 0. 



Il résulte immédiatement de là ce théorème : 



Théorème I. Deux couples déterminent complètement 

 deux séries en involulion. 



Corollaire 1. Deux involutions placées sur un même 

 support ont au plus un couple commun. 



Corollaire II. Les éléments d'un même couple sontper' 

 mutables ; il en est de même des couples. 



On voit aisément que si A^B, C^D, on obtient le cas 

 particulier de l'involution de quatre points, suivant la déno- 

 mination de Desargues, ou un groupe harmonique. 



Théorème II. Si d'un point 0, on projette sur une 

 droite u les points AB, CD, EF,... en involution sur une 

 droite v, les projections, A,Bi, CiDj, E,Fi... sont elles- 

 mêmes en involulion. 



En effet, imaginons par u et v deux plans a et (3. Puisque 

 AB, CD, EF,,.. sont en involution, par trois de ces couples 

 on peut faire passer les côtés d'un quadrangle LMiNP situé 

 dans le plan «. Or si l'on projette le système sur le plan p, 

 on voit qu'à LMNP correspond un quadrangle L,MjN,P, 

 dont les côtés passent par AtB,, CiD), E,Fj. 



Corollaire. La projection de quatre points harmoniques 

 est un groupe harmonique. 



