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Théorème IV. — Deux séries projectives superposée.^ 

 ont, au phis, deux élémeiils utus. 



En effet, si M, coïncide avec M, le couple MM' est com- 

 mun à ,1 et à ,1 , el réciproquement. Or, J et J' ont, au plus, 

 un couple commun. Mais si M coïncide avec M^ on voit 

 que M' est aussi un élément uni, car, en partant de M', on 

 aurait eu M dans J puisque les éléments sont permutables, 

 et M aurait donné M' dans J'. 



Corollaire. — Deux séries projectives superposées qui 

 ont trois éléments unis ont tous leurs éléments unis. 



En effet, il n'en pourrait être ainsi que si J et J' avaient 

 deux couples communs. 



Théorème V. — Dans deux séries projectives super- 

 posées, à quatre éléments harmoniques d'une série corres- 

 pondent quatre éléments harmoniques de l'autre série. 



En effet, considérons quatre éléments P, Q, R, S, il leur 

 correspond dans J, les éléments P', Q', B', S', et à ceux-ci 

 dans J'Ies points homologues Pi, Q,, R,, S|. Donc, d'après 

 le théorème 111, si les quatre premiers éléments sonl 

 harmoniques, il en est de même des quatre derniers. 



Corollaire. — Si quatre éléments P Q R S ne sont pas 

 harmoniques, il est impossible que les quatre autres le soient* 



Lemme. — On se donne quatre points P, P', Q, Q' 

 situés sur une droite v et deux droites u et u'. Soit Ni un 

 point quelconque. Les droites QN, Q'iN, coupent u et u 

 respectivement en des points L et L'; soit M le point 



