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Par A et A' menons deux droites arbitraires t et l' qui 

 se coupent en un point 0. Les droites BO, B'O, CO, C'O 

 déterminent sur u des points P, P', Q,Q'. 



Par le lemme précédent nous savons que si l'on joint 

 un point M, de u à Q et à Q' de façon à déterminer sur 

 t et t' des points L et L', le point N^ d'intersection des 

 droites PL, PL' est sur une droite donnée de position. 



Soit M" le point où celte droite rencontre w, et soit M' 

 la position correspondante de M\. 



Il en résulte que PM", P M" coupent t et t' en des points 

 X et X' tels que QX, Q'X' concourent en M'. 



Maintenant considérons les deux quadrangles 



PQXO; P'Q'X'O. 



Les côtés du premier coupent v aux points 

 M, A; M", C; B, M'; 



Ceux du second en 



M, A'; M", C; B', M'; 



par suite les deux systèmes de trois couples sont en invo- 

 lution. Il en résulte que A, A'; B, B'; C, C sont associés 

 dans deux séries projeclives superposées. 



Théorème VIL — Deux séries projeclives superposées 

 sont déterminées par trois couples d'éléments. 



En effet, on peut toujours associer trois couples arbi- 

 traires, mais il est impossible d'en associer quatre. Car si 

 nous choisissons les quatre points A, B,C, Dde la première 

 série, de sorte qu'ils forment un groupe harmonique, nous 

 ne pourrons prendre les quatre points A', B', C, D' d'une 

 manière arbitraire. 



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