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Sur les théorèmes fondamentaux de la géométrie projec- 

 tive ; par C. Le Paige et V. Deruyts. 



C'est à VON Staudt, comme on le sait, que revient l'hon- 

 neur d'avoir débarrassé la géométrie de position de toute 

 relation métrique. Cependant la façon dont il établit les 

 théorèmes fondamentaux de la géométrie projective n'a pas 

 été à l'abri de critiques fondées, et de savants géomètres, 

 tels que MM. Klein, Darboux, Luroth, Zeuthen, Schur, 

 Reye, Thomae, de Paolis, se sont attachés à introduire 

 une rigueur plus grande dans ses démonstrations ("). 



Les vérités essentielles qu'il s'agit d'établir pour édifier 

 toute la géométrie de position sont peu nombreuses : on 

 pourrait presque dire qu'elles se réduisent à ces deux 

 propriétés des séries projectives : d'ê/re déterminées par 

 trois couples d'éléments, et de posséder, quand elles sont 

 placées sur un même support, au plus deux éléments unis. 

 Encore ces propriétés n'en font-elles qu'une seule. 



Les démonstrations qu'on en a données s'appuient, en 

 résumé, sur ces théorèmes : 



L En partant de trois éléments d'une série, on peut, 

 par des constructions répétées de groupes harmoniques, 

 atteindre un élément quelconque de la série, ou en appro- 

 cher autant qu'on le veut. 



{') Voir Math. Annal., t. VI, Vil, XVII et XVIII, Reye, Géométrie 

 der Loge, 2* et 3* éd. Mem. délia R. Accud. dei Lincei, 1881. 



