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On a ainsi : 



S<r' = SI<,ar -*- -j^oi'r' \xJS\^ -f f- x„0„S\^\ -+-••• 



La combinaison SC" — SC donne encore le senii-cova- 

 riaul direct : 



:rr '[x, \ sO,Slj-h (a)(l2)SI ! -^-'-t-x,, l.sO„SI ,-AM(l//)SI j "|-f- • 



D'après une propriélé démontrée ci-dessus (§ V), la 

 ijuanlité 



S(:, = X,[.SÔ,SI^ — /l((7)(l2)SI I -+-••• -+-J-„f.s9„SI, — A (cr)(l/l)Sl] 



est un semi-cova riant direct. 



Uemarqne. — On obtient, pour les l'onclions semi- 

 invariantes inverses, la propriélé suivante, dont on peut 

 l'aire diverses applications : 



Si T est une fonction scmi-inrarian/e inverse, il en eil 



de uième des dérivées -r^. 

 (Ici" 



IX. — Étant donné une fonction semi-invariante directe 

 {on inverse), on en déduit une fonction de même espèce en 

 remplaçant les coefficients d'un certain nombre de formes, 

 par tes coefficients correspondants de fonctions semi-inva» 

 riantes directes [ou inverses). 



En effet, à part une puissance du module, les coelTIcients 

 ^l'une forme et les coefficients d'une fonction semi-inva- 

 riante directe de même ordre, se transforment de la même 

 ntanière, quand les variables se transforment suivant le 

 module 



1 0,2 ... ff ,, 



«.*.. . . . w-, 



o„ï 



a„„ 



