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Les condilions de poids indiquées ci-dessus et les rela- 

 tions (B), (C) caractérisent les fonctions semi-invariantes. 



En eiïel, toute Iransforinaiion linéaire des variables x 

 en fie nouvelles varial)Ies X, jx-nl sVlîeciucr par une 

 combinaison des formules: 



Xi = X,X,, Xi =-= aA., .. . .r„ = /.„X„; 

 Xf = X, (î ^ /), X, -^ X, -4- xX„. 



III. — La classilkalion des Jonctions invariantes conduit 

 à subdiviser les fondions semi-invarianles en semi-inru- 

 rianls, semi-covariants, semi-coutrevariants et semi-dira- 

 riants {'). 



Atin de traduire en formules symboliques des tbéorèmes 

 lro|) longs à énoncer, nous introduirons b s notations 

 suivantes : 



I" SI, se, Sr, SD représenteront respectivement bs 

 sen)i-invarianls, les semi-covariants, les semi-conlrevariants 

 et les sen)i-divariants directs; 



"1° IS, es, rS, DS désigneront les fonctions in versos 

 correspondantes; 



.V C, r, D représenteront lescovariants, contrevarianls 

 <'t divariants de formes à // variables. 



Enfin, nous indiquerons par (.r,)?!, (i,)n, le coellicienl 



C) Dans la tlicoric; des formes binaires, les senii-eoiilrcva/iaiits 

 se ramèncnl aux scmi-covariaiils, de iiicine que les coiilrevariatils se 

 réduisent aux covarianis. De plus, les foalions semi-invariantes 

 directes se transforment en fonctions semi-invariantes inverses, par 

 la permutation des variables x,, x^. — Nous avons déjà étudié ii-s 

 semi-covariants binaires dans un travail inséré au Diillclin de l'Aca- 

 démie roifalc de Belgique (3""= série, t. XIV, 1887). 



