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 Le problème peut évidemment être posé comme il suit : 



Problème. — En supposant que, pour la surface 

 donné M, d'ordre m, la courbe de contact du cône des tan- 

 gentes issues d'un point arbitraire P se décompose en un 

 certain nombre de courbes Ij, Ig, I5..., invariables avec le 

 point P, et en une courbe I variable avec ce point, trouver 

 le nombre des points simples que cette courbe I a en corn- 

 mun avec VHessien. On sait, d'ailleurs , que si un point P 

 est multiple d'ordre p pour la surface, il est fnultiple 

 d'ordre p — 1 pour sa première polaire, et d'ordre 4- p — 6 

 pour VHessien; en outre le cône tangent en ce point à 

 VHessien se compose du cône tangent de la surface et d'un 

 cône d'ordre 5 p — 6. 



Nous allons effectuer cette recherche seulement dans 

 un cas particulier, celui où la surface M possède quatre 

 points A, B, C, D, multiples d'ordres a, b, c, d, formant 

 six combinaisons positives d'ordres 



rii fTi rwi fTi fT^ np 



* a6 5 * ac ) A ad 5 * bei * id 5 -^ ci 5 



cette surface étant, d'ailleurs, la plus générale de son 

 espèce. 



D'après le théorème général indiqué dans la précédente 

 noteswr la détermination des singularités , etc., la courbe 

 I est ici une courbe d'ordre 



K=m(m-i)-T„,(T„,-1)~T„JT„,-i)-T„,(T„,-i) 

 - T,, (T,, - 1) - T,, (T,, - d) - T., (T,, - d), 



ayant les points A, B, C, D multiples d'ordres 



(A)a' = a(a-d)-T„,(T„,-1)-T,,(T„,-i)-T„,(T„,-l), 



(C) c' = c (c - 1 ) - T,„(T,,- 1 ) - T,, (T., - 1 ) - T., (T,, - 1 ), 



