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§ N. — Nouvelle solution trigonomé trique du 

 troisième degré. 



65. Les procédés ordinaires, employés pour résoudre 

 l'équation du troisième degré, sont différents suivant la 

 nature des racines f). Ils exigent donc qu'on reconnaisse 

 d'abord cette nature. Dans l'équation 



=a-4- 6t/ -+-2/% (104) 



déjà privée du terme du second ordre, il faut par exemple 

 calculer le binôme Ab^ h- 27 a^ ce qui peut être assez long. 

 Une solution qui s'applique à tous les cas, sans autre con- 

 sidération que les signes des termes, est évidemment pré- 

 férable, pourvu qu'elle joigne le mérite de la simplicité.. 

 Or, toute équation du degré m pouvant être considérée 

 comme le produit membre à membre d'équations de 

 degrés moindres, décomposons l'équation du troisième 

 degré en une génératrice du second degré et une autre du 

 premier. Dans la génératrice du second degré compre- 

 nons, ce qui peut toujours se faire, deux racines de même 

 signe. Nous appellerons celles-ci racines conjuguées , et 

 c'estévidemment parmi elles qu'il peut se trouver un couple 

 d'imaginaires. Toutes ces génératrices sont comprises dans 

 les deux formes 



0=k^ — ksiiif.y-^y'^, ou bien 0^=k^sïn^f — ky-^y^] 



(*) La solution générale de Tarlaglia, qui passe plus communément 

 sous le nom de Cardan, et que Bombelli a développée et Albert Girard 

 simplifiée, est sans doute trop négligée aujourd'hui. Quel qu'en soit le 

 mérite analytique, elle a toutefois l'inconvénient d'être fort incommode 

 pour les calculs logarithmiques. 



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