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s, = «4 2;."^'^ 005-^ X='— l['^'^ C0S2 X 



il'* 



8 ^ 



remplaçant la première somme par sa valeur - , et obser 

 vant que la seconde est nulle, on obtient 



S,= 



Par des calculs analogues, on pourrait chercher directe- 

 ment les sommes des puissancescinquièmes, sixièmes, etc.; 

 mais cette méthode est bien longue, et, de plus, elle ferait 

 connaître difficilement la loi que suivent les différentes 

 sommes. Pour découvrir cette loi , recourons à la formule 

 qui donne le développement de cos"'x, m étant entier et 

 positif, en fonction des cosinus des multiples de l'arc a ; 

 cette formule, démontrée dans les traités de calcul diffé- 

 rentiel (1), est la suivante : 



cos'"x = — (cos mx -4- m cos [m — 2) x 



m (m — I) 

 H ^ COS {m. — 4) X -+- -+- cos ( — nix)) ... (*) 



Distinguons le cas où le nombre m est impair de celui 

 où il est pair : 



^ 1" Si )n est impair, chaque terme du développement se 

 trouve répété deux fois, et, par conséquent, nous pouvons 



(*) Voir, par cxcinplc, le Traiteur M. 'riininoinKiiis, clKip. Il , 11" 60. 



