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 et si l'on adopte la notation suivante : 



'=" / df (U dy di \ 



i = {\ dqi dpi dpi dffi / ' 



l'équation : 



( y , i ) = const. 



sera une troisième intégrale du système (1), en général ('). 

 Cette troisième intégrale pouvant, à son tour, en donner 

 de nouvelles à l'aide de la même combinaison , le théorème 

 de Poisson permettrait de tirer, de deux intégrales 9 = a , 

 ^ = 8, la solution complète du problème, si malheureu- 

 sement, dans un grand nombre de cas, la combinaison 

 {f, ^) de Poisson ne se réduisait pas identiquement à zéro, 

 ou à une constante numérique, ou à une fonction des deux 

 intégrales f, -p -, déjà connues (**), auxquels cas l'équa- 

 tion [f,^) = const., se réduit à une simple identité et ne 

 fournit pas une intégrale nouvelle. 



Toutefois, dans ces cas d'exception, on peut tirer un 

 parti avantageux des intégrales trouvées pour simplifier le 

 problème de l'intégration , comme cela ressort des travaux 

 de MM. Jacobi et Bour (*'*), et la liaison intime de toute 

 cette théorie avec celle de l'intégration des équations aux 

 dérivées partielles du premier ordre donne une impor- 

 tance nouvelle à la recherche des propriétés de la fonction 

 (r, 'P) de Poisson. 



(*) Mécan. anal, p.4"23. 



(") Voir Mécan.anal., p. 424, et un mémoire de M. Bertrand, Journal 

 (le Liouville, t. XVII, p. 596. 



(**') Bour, Mémoire sur l'intégration des équations de la mécanique, 

 (Savants étrangers de l'Institut de France, t. XIV). — Jacobi, Nova me- 

 thodus equat. diff. partiales primi ordinis integrandi. .Ioi'rnal de Creli.f , 

 t. LX ,p. 1. 



