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Je inc propose d'étudier ici ces i)ropiiétés et d'établir 

 directement une classification rennarquable des intégrales 

 du système (I) au point de vue de la combinaison de Pois- 

 son. Partant de là, et de quelques autres propriétés faciles 

 à établir de la fonction [t, «i), j'indique brièvement com- 

 ment on arrive, par une voie nouvelle et plus rapide, aux 

 résultats bien connus, qui font de cette théorie une des 

 plus avancées du calcul intégral. 



Je m'appuierai sur le théorème suivant de Jacobi : soioii 

 fy iiX trois fondions quelconques (/e t, qi, . . . qn, pi, . . . p.,; 

 6'/ Von forme les combinaisons : 



{?, 'P), (%, 9), (^: %), 

 on aura identiquement : 



[?, ('^ %)] -+- ['1, (%, f)] -t- [%, {?, 'p)] = o. 

 Cette équation se vérifie par de simples différentialions. 



J'appelle toujours intégrales du système (1) les inté- 

 grales de la forme : 



ç.(^ qi, r/2, ... 7„, />!, Pi, ... p„) = const., 



ce sont celles-là seulement dont les propriétés sont à exa- 

 miner ici. 



§ 1. 



On sait que dans toute intégrale : 



f{t, 9,, r/2, .. 7„, pi, p.2, .. /)„) = const., 



du système (1), la fonction -f vérifie l'équation aux diffé- 

 rences partielles : 



f/v •=- /f/H df dll d-, \ 

 dt ' = « \dqi dpi dj)i dqi I 



