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une intégrale conjuguée de l'intégrale ^ = «i, on obtient 

 toutes les autres en lui ajoutant une fonction arbitraire 

 des intégrales ^i, ^3, r*, ... f2«, qui complètent la solution 

 et vérifient l'équation : 



Les intégrales (2), outre les conditions qui constituent 

 le théorème I", peuvent être supposées satisfaire encore à 

 celles-ci : 



(?2, n) =t», (^2, ?i) = 0, .... (ç;2, ^2») =0. 



Pour le démontrer, rappelons que toute intégrale du pro- 

 blème de la forme : 



w ( ^1 5 'f 3 j V 4 , . • . fin ) = const., 



vérifie la condition (??,, cr) == 0, et qu'il n'y en a point 

 d'autre. Cherchons donc, parmi ces intégrales tô, celles qui 

 satisferaient aussi à l'équation aux dérivées partielles : 



(f2, ^j = o; 

 ou, d'après la formule (5), à l'équation : 



(o) lf2, fij — -^-(f2,î'3}-^-^- .... -+-(^2, ?2»)^— = 0. 

 a fi clfz (/^2« 



On a d'abord ; 



('f2,?l) = — i. 



D'autre part, comme cr ne peut renfermer ^2, l'équation 

 précédente n'est possible que si les coefficients {n, ^3), ... 

 (?2, nn) sont fonctions de ^1, n, y*, .... ç^,, seulement. Mais 

 cette condition est satisfaite, car soit y- l'une des fonctions 



