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 on aura simplement ; 



(f: f ) = (r^ r )• 



Il nous reste à montrer brièvement comment ces pro- 

 priétés de la fonction ( -^ , -/), jointes aux théorèmes établis 

 dans le l'"^ paragraphe, conduisent immédiatement aux 

 belles propriétés connues que présente l'intégration du 

 système (1) (*). 



ï. — Supposons, comme première application, que l'on 

 ait obtenu la moitié des intégrales formant un système 

 canonique : 



?1 ^^^^ ^1 5 î^5 =^ ^3 5 'fin- 1 ^^= ^'2>i- 1 5 



satisfaisant toutes à la relation {-f , .^z) = o, et qu'il 

 s'agisse de trouver les n intégrales qui complètent la so- 

 lution du problème, et qui sont respectivement conjuguées 

 aux précédentes : 



f2 =^ ^2 5 'r* = "^ij 'fin '=' ^-in- 



On a , pour A; = 1 , 2 , 5 , . . . w : 



( r2x— 15 rs/.) = ''5 



et au moyen des n — 1 intégrales déjà trouvées (en lais- 

 sant de côté ?2A_i = ^2/.-i), on éliminera les variables ;^, 

 sauf l'une d'elles p^, des fonctions vs^-i, i^k'-, et l'équation 

 (7) donnera : 



»i-l n-K 



( ^2/. - 1 5 ^2/r ) = ( ^2A- 1 5 ^2A- ) = 1 • 



(") En i)arliciiliei', on en déduit inimédialement les diverses équations 

 obtenues par M Bour, dans le mémoire cilé plus haut. 



