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 Soit, en eil'et, N le nombre donné, astreint, ainsi que 

 je Tai dit, aux seules conditions d'être impair et non ter- 

 miné par un 5. Si Ton convertit^ en fraction périodique, 

 et si l'on désigne la période par P, on aura , comme on 

 sait, 



1 __ ^ 



N ~ 999....' 



d'où 



999 = PN. 



Si donc le nombre N n'est pas divisible par 9, il faut que 

 la période P le soit; dans ce cas, nommons Q le quotient 

 de P par 9; on déduit de l'égalité précédente 



111 = QN, 



et l'on voit que Q est le facteur qu'il s'agissait d'obtenir. 



Quant au cas où N serait un multiple de 5 ou de 9, et 

 où conséquemment P pourrait ne pas être divisible par 

 9, il est clair qu'on n'aura qu'à prendre, au lieu de P, la 

 réunion de trois ou de neuf périodes , de manière que l'en- 

 semble soit divisible par 9. 



Prenons maintenant quelques exemples. 



Supposons que le nombre donné soit 7; on trouvera 



1=0,142857 142857 ; le facteur chercbé sera 



donc-^^= 15875; et, en effet, 15875 multiplié par 7 

 donne 11M11; le double de 15875, ou 51746, multiplié 

 de même par 7 donne 222222; etc. 



Si le nombre donné est 5, on a- = 0,55555 ; ici la 



période est divisible par 5, mais non par 9; il faut donc 

 diviser par 9 la réunion de trois périodes, c'est-à-dire le 

 nombre 555, et le quotient 57 sera le facteur en question. 



