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auquel on est conduit lorsque l'application de la méthode 

 ordinaire ne donne pas une solution singulière. 



Il y avait donc là un point délicat et intéressant de 

 théorie à élucider, et M. Paul Mansion, dont les recherches 

 sur les fonctions elliptiques sont fort appréciées des géomè- 

 tres, s'y est appliqué avec sagacité et avec succès. En ce 

 qui concerne l'équation 



Ay' a -h B// -t- C = 0, 



il est arrivé à ce résultat, d'accord avec les observations 

 de M. Darhoux, que l'équation R =0 représente, soit le 

 lieu des points où les courbes comprises dans l'équation 

 différentielle ont une courbure infinie, soit l'enveloppe de 

 ces courbes, soit un lieu qui jouit à la fois de ces deux 

 propriétés; mais que c'est véritablement le premier cas 

 qui est le cas général. 



M. Mansion étudie ensuite le système plus général 



/ (*, y, v/) = 0,-^ = 0, 



et l'ait voir d'abord que le raisonnement de M. de Morgan 

 pour établir que l'élimination dey', lorsqu'elle ne conduit 

 pas à la solution singulière, donne le lieu des points où la 

 courbure est infinie; que ce raisonnement, dis-je, manque 

 d'exactitude sur plusieurs points. Il examine ensuite direc- 

 tement les rapports qui existent entre ces deux problèmes: 

 1° Chercher l'enveloppe des courbes représentées par une 

 équation II (x, y, C) = 0, ou y = F (x, C); 2° chercher 

 le lieu des points de ces courbes où la courbure est infinie. 

 Au moyen d'une transformation convenable des équations, 

 il établit la condition pour qu'une courbe donnée quel- 

 conque, au point où clic coupe l'une quelconque des courbes 



