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 que nous pouvons supposer mise sous la forme 



y = %x (-") 



Pour que cette relation fût une solution singulière de 

 l'équation différentielle donnée, on devrait avoir, quelle 

 que fût la forme des fonctions f et % , 



xx = f(x t %x) (3') 



ce qui, évidemment, n'a pas lieu en général. 



2. La remarque de M. Darboux, exposée au numéro 

 précédent, peut sembler étrange au premier abord, car 

 les exemples classiques de solutions singulières semblent 

 tous la contredire (*). M. Catalan signala immédiatement 

 un cas remarquable où l'équation (2) conduit vraiment à 

 la solution singulière (C. R., t. LXXÏ, p. 50). Le voici en 

 substance. Soit l'équation : 



(M — c) 2 = N (4) 



où M et N sont des fonctions quelconques de x et de y, 

 et c une constante arbitraire. Cette équation conduit à une 

 équation différentielle de la forme (1) , où 



\ rhj] \ây 



. B = 2N 2 



Sx 3y Sx êy 



c = nH-P)'. ' 



(*) Voir les nombreux exemples traités dans l'ouvrage consciencieux 

 et trop peu connu : Des solutions singulières , par L. Hoctain. Bruxelles, 

 Lesigne, 1854; 550 pages in-8°. 



