( m ) 



Par suite l'équation (2) prend la forme 



n =o (5) 



ce qui conduit à la solution singulière 



N = (G) 



dans tous les cas où l'on n'aura pas de relation entre les 

 fonctions M et N. 



M. Darboux fit remarquer que ces cas particuliers n'in- 

 firmaient en rien sa propre théorie (C. R., t. LXXÏ, 

 p. 267) : « Il peut se présenter trois cas : 



« 1° L'équation de condition (5) est satisfaite pour 

 tous les points de la courbe R = 0; alors cette courbe 

 peut être, et est en général l'enveloppe; 



2° L'équation de condition (5) n'est pas satisfaite par 

 tous les points de la courbe R = ; c'est là le cas général , 

 et alors la courbe R = est , en général , le lieu des points 

 de rebroussement, ou, si l'on veut, des points singuliers 

 des courbes représentant les intégrales particulières; 



5° La courbe R = peut se décomposer en deux par- 

 ties, l'une pour laquelle l'équation de condition est satis- 

 faite, et qui est l'enveloppe, l'autre pour laquelle celte 

 équation n'est pas satisfaite, et qui est, en général, un 

 lieu de points singuliers. » 



On peut ajouter à ces remarques de M. Darboux, que ies 

 cas 1° et 2° peuvent se présenter à la fois. Ainsi l'équation 



(y'-*) 1 =-(y-*) M (7) 



a pour intégrale générale 



±(y-.T)=(±(*-rf) ls • V . . (8) 



