( W) 



Prenons la dérivée de cette équation par rapport à y', 



~=0 (15) 



Si entre cette équation et la précédente, on élimine y', on 

 admet qu'on aura, en général, une solution singulière. Tl 

 résulte de là, qu'en déduisant des deux équations, les va- 

 leurs de y et de y\ la valeur obtenue pour y' devrait être 

 la dérivée de la valeur obtenue pour y, résultat évidem- 

 ment absurde, puisque la composition en x de l'équation 

 différentielle est tout à fait arbitraire, et qu'on pourra, dans 

 les formules, remplacer un coefficient constant par une 

 fonction quelconque de x , sans rien changer à la suite des 

 opérations (il n'y a pas de dérivée par rapport à x). » 



On pourrait peut-être mettre en doute la conclusion de 

 ce raisonnement parce qu'il ne tient pas compte de cette 

 circonstance que non-seulement l'équation (15) se déduit 

 de l'équation (14) par une opération qui ne touche en rien 

 aux x, mais que cette opération est une dérivation par 

 rapport à y f . Peut-on savoir, à priori, que l'équation (15) 

 n'est pas la condition nécessaire pour que les systèmes de 

 courbes représentées par l'équation (14) quand les para- 

 mètres y représentent diverses fonctions de x, aient une 

 enveloppe représentée par le résultat de l'élimination de 

 y' entre les équations (14) et (15)? Cela ne semble pas 

 évident. Un raisonnement identique à celui de M. Dar- 

 boux pourrait être dirigé contre la théorie ordinaire des 

 courbes enveloppes : il suffirait de remplacer dans la 

 remarque de M. Darboux, y' par un paramètre variable, 

 et les mots solutions singulières par enveloppe. Le regar- 

 derait-on, dans ce cas, comme concluant? 



